Уроженец Курска Логашов выступал в таких клубах, как «Спортакадемклуб» (Москва), «Химки» (Химки, Московская область), «Анжи» (Махачкала), «Факел» (Воронеж), «Ростов» (Ростов-на-Дону). Предыдущим клубом футболиста был московский «Локомотив».

Арсений является двукратным обладателем Кубка России в составе «Локомотива» и «Ростова», бронзовым призером чемпионата России в составе «Анжи», призывался под знамена юношеской и молодежной сборных России, а также дебютировал в главной команде страны.