Чесноков начинал карьеру в калининской «Волге» у легендарного тренера Игоря Семёновича Волчка. Именно Волчок в 1972 году взял с собой в «Локомотив» совсем ещё молодого футболиста.

«Я тогда пригласил в «Локомотив» талантливого мальчишку — Юру Чеснокова, который у меня 15-летним в калининской «Волге» начинал, — вспоминал Волчок. — Быстрый, резкий, забивной. Борис Павлович Бещев о Чеснокове был наслышан, ему не терпелось увидеть парня на поле. Звонит: «Юра сегодня за дубль сыграет?» — «Да». — «Не возражаете, если вместе футбол посмотрим? Помощник заедет за вами». Приезжаем в Красногорск, где дубль «Локомотива» проводил матчи. Холод собачий, на стадионе ремонт, всё перекопано. А министр спокойно по грязи шлёпает. На Чеснокова нарадоваться не мог: «Ох, какой футболист!».

В свои 20 лет Чесноков быстро стал одним из лидеров команды и за три сезона наколотил 45 голов в 110 матчах. Современники отмечали скорость, работоспособность и голевое чутье молодого нападающего. В первом же сезоне он вошёл в число 33 лучших футболистов страны, а также дебютировал за молодёжную сборную СССР.

По итогам 1972 года «Локомотив» покинул высшую лигу, но Чесноков остался в команде и вскоре помог ей вернуться в элиту. Сезон 1974 года стал лучшим в карьере футболиста — 35 матчей, 20 голов и второе попадание в список 33 лучших, куда очень редко включали представителей первой лиги.

Тот сезон стал последним для Чеснокова в составе «Локомотива». Нападающий приглянулся ЦСКА, который попросту поставил его перед фактом, призвав в армию фактически в аэропорту.

Молодёжная сборная СССР тогда возвращалась с турне по Сингапуру и Индонезии. В «Локомотиве» знали об интересе армейцев к своему лучшему игроку и отправили прямо на посадочную полосу «Волгу» с начальником Московской железной дороги. Представители ЦСКА же догнали машину и остановили её на ближайшем посту ГАИ, где вручили Чеснокову повестку в армию.

За ЦСКА нападающий отыграл восемь лет, провёл больше 250 матчей, забил около ста мячей, однако расставание с армейцами получилось не очень красивым. В 1983 году Чеснокова убрали из команды и направили начальником физподготовки в Группу советских войск в Германии.

«А затем неожиданно перевели в бригаду связи Ленинградского военного округа, — рассказывал Игорь Волчок. — С тоски там начал поддавать, попался на глаза начальству. Из армии уволили. Остался ни с чем. Связался с какой-то компанией. Когда этих ребят посадили за групповое изнасилование, среди подозреваемых был и Чесноков. В итоге с него подозрения сняли и отпустили, но Юрку эта история окончательно надломила».

Юрий Чесноков скончался 20 ноября 1999 года в возрасте 47 лет.
Большой материал, посвящённый попаданию Чеснокова в список 100 лучших футболистов «Локомотива» в истории, вы можете прочитать по ссылке.

Пресс-служба ФК «Локомотив»